m = 1

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2x+4=2mx-m^2\)

=>\(x^2-2x+4-2mx+m^2=0\)

=>\(x^2-x\left(2m+2\right)+m^2+4=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m^2-16=8m-12\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>8m-12>0

=>8m>12

=>\(m>\dfrac{3}{2}\)

Theo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2m-2\right)}{1}=2m+2\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+4}{1}=m^2+4\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=3m^2+16\)

=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=3m^2+12+4\)

=>\(x_1^2+x_1\cdot x_2+x_2^2=3x_1x_2+4\)

=>\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=4\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=4\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

=>\(\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)=4\)

=>\(4m^2+8m+4-4m^2-16=4\)

=>8m-12=4

=>8m=16

=>m=2(nhận)

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-mx+1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot1=m^2-4\)

Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thi Δ>0

=>(m-2)(m+2)>0

hay \(\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\)

b: Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có:

\(x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=3\)

\(\Leftrightarrow m-1=3\)

hay m=4

a: PTHDGĐ là:

x^2-(m-1)x-(m^2+1)=0

a*c=-m^2-1<0

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục Oy

b: |x1|+|x2|=2căn 2

=>x1^2+x2^2+2|x1x2|=8

=>(x1+x2)^2-2x1x2+2|x1x2|=8

=>(m-1)^2-2(-m^2+1)+2|-m^2-1|=8

=>(m-1)^2+2(m^2+1)+2(m^2+1)=8

=>m^2-2m+1+4m^2+4=8

=>5m^2-2m-3=0

=>5m^2-5m+3m-3=0

=>(m-1)(5m+3)=0

=>m=1 hoặc m=-3/5

a:Khi m=3 thì phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2x-3=0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>x=3 hoặc x=-1

=>y=9 hoặc y=1

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2x-m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)=4m+4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m+4>0

hay m>-1

Theo đề, ta có:

\(\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2=2020\)

\(\Leftrightarrow2^2+2-2\cdot\left(-m\right)=2020\)

=>2m+6=2020

=>2m=2014

hay m=1007

*) xét pt hoành độ giao điểm của d và (P)

-x²=2x+m-1

<=> \(x^2+2x+m-1=0\left(1\right)\)

Có \(\Delta'=1-m+1=2-m\)

*) Để d giao với (P) tại 2 điểm phân biệt

<=> pt (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

<=> \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\)

*) áp dụng Vi-et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{2a}=-1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)

*) Có: \(x_1^3-x_2^3+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=5-m\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-1}{2}\\x_2=\frac{-3}{2}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow m-1=x_1x_2=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-3}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

<=> \(m=\frac{7}{4}\)(tmđk m<2)

Vừa nãy mình viết nhầm Vi-et. Mình làm lại

Xét pt hoành độ của d và (P) có:

\(-x^2=2x+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+m-1=0\left(1\right)\)

Có \(\Delta'=1-m+1=2-m\)

Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt <=> pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\)

Theo Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)

Có \(x_1^3-x_2^3+x_1x_2=4\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+x_1x_2=4\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=5-m\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-1}{2}\\x_2=\frac{-3}{2}\end{cases}}}\)

=> m-1=\(x_1x_2=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-3}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

<=> \(m=\frac{7}{4}\)(tmđk)